机器学习在小天体重力场反演中的研究进展与未来方向

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引言

小行星和彗星等不规则小天体的引力场反演，是当前行星科学和深空探测领域中的重要研究课题。近年来，人类对小天体的探索进入新阶段：从2000年NEAR号成功环绕433号小行星Eros、2005年日本隼鸟号采样25143号小行星Itokawa、2014年Rosetta探测67P彗星、到2018年隼鸟2号采样162173号小行星Ryugu，以及2020年OSIRIS-REx探测101955号小行星Bennu等，这些任务深入揭示了小天体在太阳系起源与演化中的信息。展望未来，欧洲Hera任务、我国“郑和号”小行星探测任务（目标469219 Kamoʻoalewa）以及NASA对16 Psyche小行星的探测等都已计划在本十年实施。对这些小天体开展引力场精密测定和质量分布反演，具有显著的科学价值和工程意义。

从科学角度而言，小天体引力场蕴含其内部质量分布信息，可用于推断天体的组成与结构。例如，Bennu小行星的高精度引力场和详细形状模型揭示了其内部密度存在明显不均——赤道隆起和核心密度较低；Itokawa小行星的两个组成“瓣”密度存在差异，头部密度约$2.45,\text{g/cm}^3$而主体仅约$1.93,\text{g/cm}^3$，显示内部孔隙率分布不均。这些引力反演结果为理解小行星是否为碎石堆结构（rubble pile）抑或含有较完整的单块岩体提供了依据，也为其形成演化历史提供线索。从工程角度来看，引力场是航天器制导、导航与控制（GNC）的基础。准确的引力模型能够支撑探测器实现稳定环绕、悬停和着陆操作，保障任务安全。例如，在OSIRIS-REx对Bennu和隼鸟2号对Ryugu执行近表采样时，精确的小天体引力场模型使得接近飞行和触地采样轨迹的设计成为可能。因此，无论是为了科学研究（揭示内部构造）还是任务工程（导航控制），开展小天体引力场反演都具有重要意义。

传统上，小天体的引力场通常用球谐函数展开来表示，引力参数通过滤波和轨道拟合估计得到。然而，对于形状非常不规则的天体，球谐模型在小天体表面附近会出现收敛困难和精度下降的问题。因此，针对形状不规则、密度可能非均匀的小天体，引力场反演面临数据有限、问题欠定（解非唯一）等挑战，需要发展新的方法来提高解算精度和鲁棒性。近年来，机器学习（ML）方法开始引入该领域，利用小天体探测数据训练神经网络模型，从而有效逼近引力场并反演质量分布。特别是物理启发的神经网络（PINNs）、神经密度场模型（geodesyNet）等新技术表现出巨大潜力，不仅在精度上可比拟传统方法，还减少了对先验假设（如均匀密度、已知形状等）的依赖。本综述系统总结小天体引力场反演的传统方法及其局限，阐述最新的机器学习方法及应用进展，归纳典型小天体案例的研究成果，讨论数据获取与处理要点，并展望未来的发展方向与挑战。

下面将首先介绍传统的小天体引力场反演方法及问题背景，然后重点讨论机器学习方法在该领域的创新应用，结合Eros、Itokawa、Bennu、Ryugu等典型小天体的研究案例，对比分析不同方法的精度与适用性。在此基础上，探讨数据获取与预处理过程对引力反演的影响，最后提出未来可能的研究方向与关键技术挑战。

小天体引力场反演的传统方法与局限

小天体引力场反演是一个典型的反问题：根据探测器的运动或测量的重力加速度，推断天体的引力势分布乃至内部质量分布。由于小天体质量集中、形状不规则，传统行星引力场建模方法在此常面临挑战。本节介绍几种主要传统方法，包括球谐函数模型、质量单元（mascon）模型和多面体模型等，并分析它们的局限性。

球谐函数模型

球谐引力模型利用一组球谐函数展开引力势，是行星引力场表示的经典方法。引力势$U(r,\phi,\lambda)$展开为：

U(r,ϕ,λ)=GMr[1+∑l=2L∑m=0l(Clmcos⁡mλ+Slmsin⁡mλ)Plm(sin⁡ϕ)],U(r,\phi,\lambda) = \frac{GM}{r} \left[1 + \sum_{l=2}^{L}\sum_{m=0}^{l} \left(C_{lm}\cos m\lambda + S_{lm}\sin m\lambda\right)P_{lm}(\sin\phi)\right],

其中$P_{lm}$为缔合勒让德多项式，$C_{lm}, S_{lm}$为待定球谐系数。通过对航天器轨道和加速度观测数据进行滤波和最小二乘拟合，可估计这些系数。球谐模型在早期小天体任务中被采用，因为它形式通用、便于在牛顿引力框架下处理。例如，NEAR任务对Eros小行星的早期引力场解算就曾使用过低阶的球谐展开模型。然而球谐展开有固有收敛半径限制：仅在包含天体的布里渊球（Brillouin sphere）以外严格收敛。对于高度扁长或不规则的小天体，探测器工作区域往往接近或进入布里渊球内部，使球谐级数出现严重发散或误差增大。实例如月球等有较大扁率的天体，高阶球谐在表面附近就可能发散。在小行星Bennu和Castalia等情况下，经典的球谐模型难以保证全空间引力场的精度。因此，当天体形状偏离球形越显著，球谐法所需的阶次$L$就越高，导致模型复杂且在局部精度不足。此外，引力场反演本质上是求解拉普拉斯方程的系数，这一问题在数据噪声存在时会放大高频误差，需要正则化处理以避免“病态”解（欠定问题）【64†】。综上，球谐模型优点是数学形式成熟、便于结合滤波估计，但局限在于：对小天体这类非常不规则目标，球谐基函数并非最佳展开基，往往收敛慢且需截断，精度较差，易出现欠定和不稳定【64†】。因此在小天体引力反演中，球谐模型通常只适合作为初步的简化模型或导航近似，在详细研究中逐渐被更适合不规则形体的方法取代。

质量单元（Mascon）模型

Mascon模型将小天体近似为许多点质量（mass concentration）或小体积质量元素的集合，通过调节各质量块的大小和分布，使其外部引力场与观测相符。具体做法是将小天体的体积划分成$n$个质量单元，每个单元赋予可调质量$m_j$，使得总质量满足已知$GM$，然后根据探测器测量的重力加速度，利用最小二乘等方法反演各单元质量。Mascon方法原理简单直观、易于实现，在行星科学中早有应用（如NASA对月球重力场的GRAIL任务采用上千个mascon拟合）。对于小天体，mascon模型的优点是可以灵活适应任何形状：只要mascon足够多，就能逼近任意质量分布，且可直接用于数值积分计算航天器轨道。然而，其不足也很明显：首先，为了达到与球谐模型同等的外场精度，所需的mascon数量可能非常大——成百上千的质量块造成模型参数维数过高，增加计算开销和反演的病态性。其次，在内部和贴近表面区域，mascon模型的精度变得难以保证，因为判断探测点是处于某一mascon“内部”还是“外部”变得不明确，导致引力计算不连续或震荡。再次，如果没有引入额外约束，mascon解可能出现多解：不同质量配置产生类似的外部引力场，使问题欠定。为缓解这些问题，研究者提出了一些改进策略，例如混合模型（将mascon与球谐结合）或在反演中加入关于形状和组成的先验信息以稳定解算。Wittick和Russell (2019)提出将mascon与低阶球谐混合建模，提高外场精度同时减少mascon数。总体而言，mascon模型建模灵活，适合并行计算，但局限在于参数过多易欠定，需要借助正则化和先验形状知识才能获得物理合理的密度分布解。

多面体模型

多面体引力模型利用小天体的几何形状模型，精确计算假设均匀密度时的引力场。该方法基于高斯引力定理（散度定理）：将体积分转换为表面积分，实现对不规则形体引力势的解析计算。具体来说，先通过摄像测量获得小天体的高分辨率形状模型，将其表示为由多面体（多边形网格面）近似的封闭体，然后对每一个面片应用解析公式（如Werner和Scheeres 1996推导的公式）计算引力贡献。对于均匀密度的多面体，可以在空间中任意点直接计算精确的引力加速度，这使多面体模型成为在目标形状已知情况下非常精确的建模方法。其主要优点在于：当形状模型准确、假定密度均匀时，多面体法可给出沿整个空间（包括贴近表面处）的引力场解析解，没有球谐收敛问题，也无需数值拟合。因此NASA和JAXA在小行星探测中常用多面体模型作为“真值”计算标准或导航参考模型。然而，多面体模型也存在重要局限：首先，它要求已知高保真形状模型和均匀密度假设。但真实小天体往往内部非均质，如Itokawa、Bennu等存在密度差异，均匀假设会导致模型系统偏差。要扩展多面体方法以处理非均匀密度，需要将天体分块成多个均匀区，但这样会丧失解析优势并使参数增多。其次，多面体引力公式较复杂，需要计算大量三角函数和对数函数，当面元数目很多时计算代价高。例如，对具有几万面元的形状模型，每计算一次引力加速度都需累加上万项，若不加以优化将难以用于实时计算。最后，多面体模型本身不直接提供反演质量分布的手段——通常只用来正演（给定假设密度下算引力），要进行反演则需调整密度参数或引入其他算法，使问题变为非线性、复杂度提升。综上，多面体模型的适用性在于导航和仿真中的高精度引力计算，但在反演问题中，受限于均匀假设和计算复杂度，难以直接用于推断内部不均匀的质量分布。

传统方法的局限与改进方向

上述传统方法各有优势也存在局限，总结如下：

球谐模型：通用简单，但对高度不规则小天体精度差，在布里渊球内发散，需要高阶项且存在欠定风险。
Mascon模型：灵活直观，但参数众多导致解不唯一，精度需大量mascon支撑，尤其在表面附近易失准。
多面体模型：精度高（均质假设下），但需精确形状和均匀密度假定，无法直接处理内部异质，计算复杂度高。

为克服这些局限，研究者提出了非线性优化和智能算法等改进方向。例如，Tricarico (2013)提出用蒙特卡洛模拟和优化算法进行全局重力反演，提高了反演精度但计算代价较大【64†】。近期还有Caldiero等（2024）提出基于水平集方法的反演方案，将内部密度不均表示为变动的界面形状，通过迭代求解来匹配重力观测，实现了对小天体大尺度密度异质的推断。这些非线性方法较传统线性最小二乘精度有提升，但缺点是算法复杂、收敛速度慢且具有一定随机性（如遗传算法求解）【64†】。总体而言，在数据有限、问题欠定的背景下，引入先验物理信息和新型算法是传统反演方法改进的主要思路。其中，机器学习方法的兴起为该领域注入了新动力：借助深度神经网络的拟合能力和对复杂模式的自学习能力，或可在一定程度上突破传统方法的瓶颈。下文将详细介绍机器学习在小天体引力场反演中的应用进展。

小天体引力场反演中的机器学习方法

机器学习，尤其是深度学习技术，近年来在科学计算和反演问题中取得突破。在小天体引力反演领域，引入神经网络可以作为一种灵活的函数逼近器，无需强假设即可从数据中“学习”引力场与质量分布的关系。与传统方法相比，ML方法具有参数自适应、可并行计算等优势，并能融合物理约束提升模型物理合理性。下面介绍近年几个主要的机器学习方法及其应用研究，包括物理信息神经网络、神经密度场（geodesyNet）模型，以及其他深度学习和自监督方法（如卷积网络、Transformer、Hopfield网络等）。

物理信息神经网络（PINNs）

物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）是一种将物理定律嵌入神经网络训练过程的新范式。PINN通过在损失函数中加入对物理偏微分方程的约束，促使网络解严格或近似满足已知的物理方程，从而提高训练效率和解的物理可信度。在引力场反演中，PINN通常选取引力位标量势$U(x)$作为网络输出，而非直接输出引力加速度$\mathbf{a}$。通过自动微分技术对网络输出$U$求梯度$\nabla U$，可得到对应的引力加速度，并在损失函数中强制实施$\mathbf{a}=-\nabla U$这一物理关系。换言之，网络不仅拟合观测的加速度数据，还被惩罚其输出违背拉普拉斯方程（$\nabla^2 U = 0$，真空区）或泊松方程（含有体密度时）的程度，从而确保结果满足引力物理规律。Martin和Schaub等人率先将PINN应用于地月引力场建模，并推广到小行星场景。他们的研究表明，与纯数据驱动网络相比，引入物理约束的PINN能够学习到更紧凑且物理一致的引力模型：参数量更少但精度相当，对噪声更具鲁棒性，且训练样本效率更高。例如，在地球、月球引力场模拟中，PINN模型用较低阶网络实现了与高阶球谐近似相当的精度，同时对观测噪声不敏感。针对小天体433 Eros，研究者设计了PINN来学习其引力势分布，发现PINN方法能以较紧凑的网络结构（较少参数）准确逼近Eros的引力场，并对轨道数据噪声具有一定抗扰能力。

尽管PINN展示出诸多优点，但初步应用中也暴露了一些挑战。Martin和Schaub在后续工作中指出：早期PINN引力模型存在特征发散、低轨样本偏差、数值不稳定和外推误差等问题。例如，在仅利用探测器高轨道数据训练时，模型在近表区域的预测常不准确（样本偏差问题）；某些网络层次设计不当会导致训练时损失震荡甚至发散（特征发散和不稳定）。为此，他们提出了第三代PINN引力模型（PINN-GM-III），通过改进网络输入特征归一化、损失加权策略和网络结构，成功解决了上述问题。特别地，PINN-GM-III模型在对异质密度小行星的建模中表现出更好的稳健性和精度，可将引力加速度的平均误差控制在更低水平。此外，一些研究探索了结合PINN和轨道序列数据的方法。例如，有学者尝试让PINN从探测器的连续轨迹和加速度时间序列中学习，引入递归或序列网络成分，以充分利用轨道动力学信息。这类改进有望进一步提升在轨实时引力场模型的更新能力。

综上，PINN作为将先验物理知识融入机器学习的代表，为小天体引力场反演开辟了新路径。它克服了黑箱模型物理不符合性的缺点，在数据有限时仍能产出符合物理规律的引力解。在Eros、Bennu等案例中，PINN已经证明其基本可行。未来随着模型改进和算力提升，PINN有望在实际任务中用于在轨引力场重构，助力导航控制和科学分析。

神经密度场模型（GeodesyNet）

针对小天体引力反演中形状不规则、密度非均匀的难题，Izzo等提出了神经密度场模型，即geodesyNet，作为一种统一的引力场表示方法。GeodesyNet的核心思想是：用一个坐标输入的全连接神经网络来直接表示小天体三维空间中的密度分布函数$\rho(x,y,z)$。网络以笛卡尔坐标$(x,y,z)$为输入，输出对应点的密度$\rho$值；通过对网络输出在空间上积分（或近似积分），可计算任意点的引力势和加速度，从而拟合观测的引力数据。GeodesyNet属于一种隐式神经表示（implicit neural representation），类似于计算机视觉领域的NeRF（神经辐射场）用于重建三维场景，只不过这里重建的是“密度场”而非光辐射场。该模型的优势在于：它不依赖特定基函数展开，也不需要预先的格网剖分，只要给定足够的引力观测数据，网络可以自动学习出使引力预测误差最小的内部密度分布。换言之，geodesyNet让密度分布成为网络的内部参数表示，通过训练过程“反演”出最符合观测的密度场。

图1：小天体引力场GeodesyNet方法示意图。网络以空间坐标为输入，经过编码层和多层全连接神经元，输出三维空间中的密度分布$\rho(x,y,z)$（黑色体表示）。再通过对密度场的数值积分（图中$\int_V \approx \sum_j$表示离散求和），计算该密度分布产生的引力加速度，与实际测量的引力进行比较，误差通过反向传播用于更新网络参数，从而逐步优化密度场模型。

在训练过程中，为提高拟合效率，geodesyNet通常使用坐标嵌入编码等技术将输入空间特征映射到高维，以捕获引力场的局部细节。Izzo等的论文中，采用了类似于NeRF中的频谱位置编码，使网络更容易学习高频变化的密度分布。网络输出的密度需要通过对整个包络体积$V$的积分来计算引力，为了降低计算量，作者使用了一种分层采样的数值积分方法，即对空间选取N个采样点，用密度近似积分。通过这样的设计，同一个geodesyNet模型同时扮演了三重角色：一方面，它拟合了外部引力场（以匹配观测的引力加速度），同时它内部隐含了密度分布（即解决引力反演问题），并且密度场大于零的区域勾勒出小天体的形状（密度不为零的区域近似天体形状）。因此，训练完成后的geodesyNet模型，既可以用于计算空间任意点的重力加速度，又可以输出天体的形状和内部质量分布，实现一体化的解决方案。这与传统方法需要分步骤：先确定形状模型，再反演引力系数，最后猜测内部结构形成鲜明对比。

Izzo等在其2025年的工作中对geodesyNet方法进行了全面测试。他们选取了6个具有代表性的不规则天体，包括小行星Bennu、Eros、Itokawa和彗星67P/Churyumov–Gerasimenko等。通过构造有代表性的模拟“真值”密度场（有的均匀，有的内部两段式异质），再生成这些密度场产生的引力加速度数据，用于训练geodesyNet。结果显示，geodesyNet能够在给定极少先验信息的情况下，准确逼近这些天体的引力场，其引力加速度预测误差不到1%（即使在接近表面处）。更重要的是，在提供形状模型的条件下（即已知外形轮廓，但内部密度未知），geodesyNet成功学习出预设的异质密度分布，重建出内部高密度核或低密度层等结构。这表明geodesyNet方法不仅能拟合引力场，还具备探查内部结构的潜力，例如判断小行星内部是否存在核壳结构或密度梯度。相比传统球谐、mascon和多面体等方法，geodesyNet在这些测试中表现出精度相当且假设更少的特点：不需要假设均匀密度，也无需大量mascon或高阶项。

需要指出的是，geodesyNet作为深度学习模型，训练时也有一些策略和要求。首先，充分多样的采样数据很关键。Izzo等采用了覆盖体积内外的采样方案，以确保网络同时学习内部密度和外部场。其次，训练过程本身由于要频繁计算网络积分，计算开销不小。但作者指出，所用网络规模适中，训练可以在数小时内完成，并提出这种方法有望嵌入航天器上实时运行。他们提供的实验显示，在普通GPU硬件上训练geodesyNet是可行且高效的，不存在无法收敛的问题。这暗示将来探测器在飞行过程中自主测定目标引力场（在轨学习）是可能的。

综上，geodesyNet神经密度场模型为小天体引力场反演提供了一种新范式：将反演问题转化为函数逼近问题，通过深度网络直接逼近密度函数，从而统一解决形状、引力和密度反演。一系列模拟试验证明其有效性和优越性。目前该方法已在Icarus等刊物上被进一步研究和应用，如段亚博等人基于geodesyNet架构提出了一种新的小天体重力反演方法，并在Icarus 2025刊登。可以预见，随着对真实探测数据的应用及模型改进，神经密度场方法将在未来小天体任务中发挥重要作用，帮助科学家更全面地了解小天体的内部质量分布。

其他深度学习与自监督方法

除上述PINNs和geodesyNet外，近年来还有多种深度学习方法探索用于小天体引力场建模与反演，涵盖从传统多层感知机（MLP）、卷积神经网络（CNN）到自监督Transformer模型等。

1. 深度神经网络快速引力计算：早在2019年，宋宇等提出利用深度神经网络（DNN）快速近似不规则小行星的引力场。他们关注于提高引力计算效率，以服务于着陆轨迹优化等实时应用。该方法通过离线生成大量引力场训练样本（例如基于多面体模型计算Eros周围的引力加速度数据），训练一个多层前馈神经网络$f:\mathbf{r}\to \mathbf{a}$直接拟合位置到引力加速度的映射。训练完成后，DNN模型能够以极高速度计算给定位置的引力加速度，相比直接调用多面体模型加速了几个数量级。宋等人进一步将该DNN模型嵌入到燃料最优控制的着陆制导中，通过神经网络的解析梯度获得着陆轨迹优化所需的引力梯度信息。实验结果表明：DNN引力模型计算引力及梯度的速度远快于传统方法，在保证精度的同时显著减少了着陆轨迹优化的求解时间。然而代价是需要存储训练好的网络参数，且在边缘计算设备上执行需要考虑内存占用。总体而言，该方法属于以近似换效率的工程取向，通过牺牲一些可解释性，以满足实时应用需求。类似地，Zhang等（2022）提出一种基于伪中心点与克里金插值的快速引力估计方法（PTK方法），虽然不属于ML但目标相似：提高引力计算速度。这些努力表明，对于在轨导航与控制，引力场近似的计算效率至关重要，而深度学习提供了有前景的解决方案。

2. Hopfield神经网络实时反演：赵英杰等提出利用Hopfield神经网络（HNN）进行小天体引力参数的快速在轨估计。Hopfield网络是一种动态神经网络，能通过能量函数最小化求解优化问题。在他们的方法中，将小天体引力场用简化模型（如旋转质量偶极子模型）表示，该模型由少数参数刻画。然后设计Hopfield网络的Lyapunov能量函数，使其平衡点对应于优化目标（参数误差最小）。通过数值模拟，他们验证了对于细长小行星如216 Kleopatra、951 Gaspra、433 Eros，只需很短的网络演化时间就能让Hopfield网络收敛到正确的模型参数，快速逼近真实引力场。该方法将引力场反演转化为神经网络动力学演化问题，其优势是计算速度快、适合实时硬件实现，并可在航天器上直接运行以修正引力模型。但缺点是所依赖的引力模型较简单，仅能提供一个粗略近似（如等效二阶引力项），对于复杂密度分布的精细结构无能为力。总体上，Hopfield网络方法展示了一种智能滤波器的思路：将参数估计过程等效为网络能量衰减的过程，巧妙地避开了矩阵求逆等耗时计算。这在工程实现上很有价值，可与更精细的模型配合，实现分层次的引力场确定。

3. 自监督与Transformer模型：目前，Transformer等自注意力机制模型尚未见专门用于小天体引力反演的公开报道，但其潜力值得关注。Transformer在处理序列数据方面有独特优势，可考虑将引力反演转化为时序问题（如探测器沿轨道获取的连续引力测量序列）来应用。设想中，一个Transformer模型可以接收时序的轨道位置和观测加速度序列，自行捕捉其中的动力学关系，从而推断出底层的引力参数。自监督学习方面，也可以考虑生成大量模拟引力场数据，让模型通过对比学习或生成式网络等方式学到引力分布的先验，再用于实际数据的高效反演。这些方向目前大多停留在概念阶段，但借鉴地球物理中的深度学习经验是可行的。例如，最新研究已将隐式神经表示用于重力和磁力等位场数据的连续建模，实现从不规则测线数据重建出连续场的效果。类似理念也可迁移到小天体引力反演，在不规则轨道采样数据下学习连续引力场。

4. 其他方法：还有一些有趣的探索，如将卷积神经网络（CNN）用于识别重力异常体（主要针对地球重力的二维图像判别），或通过变分自编码器（VAE）对引力场进行降维表示等。这些在小天体领域尚未成熟，但未来可能出现新的尝试。此外，一些混合方法将传统物理模型与神经网络结合，例如用神经网络学习多面体模型计算残差的校正项，以兼顾物理准确性和学习能力。这类混合智能模型也许能进一步提高引力反演的精度和稳定性。

总的来说，其它深度学习方法在小天体引力反演中的研究还处于起步阶段。现有成果更多聚焦于提高计算效率和验证可行性。相比之下，PINNs和geodesyNet已初步展示出全面反演的能力。未来随着更复杂的网络（如Transformer）和训练策略引入，我们有望看到机器学习方法在该领域取得更多突破，为小天体引力场和内部结构研究提供新的工具。

典型小天体案例研究：方法验证与精度分析

为评估上述各种方法的效果，科研人员对多个典型小天体进行了模拟和实测数据的实验验证。下面选取433 Eros、25143 Itokawa、101955 Bennu和162173 Ryugu四个有代表性的小天体，综述它们的引力场反演研究进展、精度评估及对比分析。这些小天体分别具有不同的大小、形状和内部结构特征，对比它们的研究可为机器学习方法的适用性提供借鉴。

433号小行星Eros

Eros是人类首个近距环绕并登陆的小行星目标，NEAR-Shoemaker探测器在2000-2001年对其开展了一年多的详查。Eros形状高度不规则（长约34km，扁长花生状），表面相对平滑少巨石，是一个典型的单块岩石小行星。基于NEAR的跟踪数据，研究人员最初采用球谐函数（4阶、8阶、16阶）模型来拟合其引力场。结果在远距轨道数据上表现尚可，但在贴近表面时误差明显增大，需要借助密度归一化或补充低空飞行数据加以改善。随后，引入多面体模型（基于激光测距形状），提供了Eros引力场的高精度基准解。相比球谐模型，多面体法更好地刻画了Eros局部的不规则引力分布，但因假设均匀密度，无法揭示内部可能的密度不均。近年来，机器学习方法开始应用于Eros的引力场分析。Martin和Schaub (2022)利用PINN对Eros的模拟引力数据进行训练，结果证明PINN可以在仅有NEAR轨道数据（非遍布全空间）的情况下，学得与多面体真值相符的引力势分布，其在Eros表面附近的加速度误差也控制在较低范围。他们还比较了PINN与传统4、8、16阶球谐模型的精度，发现PINN在轨道高度整个区间内误差更均匀、低轨优势明显，不需要像球谐那样担心发散问题。另外，宋等人的DNN快速引力模型也以Eros为测试对象，实现了在轨道各高度上引力值计算的毫秒级输出，并用于模拟着陆制导控制，验证了其效率优势。综合来看，Eros案例表明：针对高度不规则但内部相对均质的天体，机器学习方法（PINN、DNN）能够达到传统方法相当的外场精度，并在贴近表面等困难区域表现更佳。由于Eros体积较大、密度约$2.67,\text{g/cm}^3$（无明显碎石堆特征），其引力场主要由形状决定，内部可能无大尺度空洞，机器学习模型在此类情形下训练良好且可信。Eros的研究为机器学习引入小行星引力反演树立了信心。

25143号小行星Itokawa

Itokawa是日本隼鸟号采样访问的近地小行星，形状呈双瓣状，尺寸约0.5公里，是典型的碎石堆小行星。虽然隼鸟号并未长期环绕，但通过短暂停留和地面雷达观测，科学家测定了Itokawa的GM值和大致引力场。Itokawa的引力反演有一个重要科学发现：两瓣结构存在密度差异。通过对Itokawa高精度形状模型、转动参数和有限的轨道扰动数据进行联合分析，发现其重心和几何形心有显著偏移（约为体轴5-10米量级），只能用“头部密度高于身体密度”来解释。Kanamaru等以及日本航天局的后续研究给出了定量估计：Itokawa较小的“头”部块密度约$2.5,\text{g/cm}^3$，而较大的“体”部块约$1.9,\text{g/cm}^3$，对应头部孔隙率约14%、身体孔隙率高达40%以上。这说明Itokawa由不同致密度的碎片组成，内部结构高度不均一，可能是两大碎片在低速碰撞后重新凝聚的结果。

针对Itokawa这样内部异质明显的小天体，传统均匀假设的引力模型显然不适用。研究者采用分段多面体法对Itokawa头部和身体分别赋予不同密度进行拟合，成功解释了观测数据。然而，这种方法需要预先假定分区及密度差，再调参比对，较为繁琐。机器学习方法如geodesyNet恰好契合此类问题：通过让网络自由学习密度分布，或许可自动找出头部和身体密度的差别。Izzo等的模拟实验中包含了Itokawa案例：他们假设Itokawa内部存在两种密度区域，生成引力场数据训练geodesyNet，训练结果准确地还原了双密度结构。这证明对于Itokawa这类双峰密度分布，引力场数据本身蕴含足够信息，可被机器学习模型捕捉。目前尚无公开报道直接将PINN或geodesyNet用于真实Itokawa数据反演，但根据模拟结果推测，这些方法有潜力无需人工假定，即可从有限的引力测量中自发识别出Itokawa的内部密度不均。需要注意的是，Itokawa数据相对匮乏（隼鸟号只有少数几次靠近减速段的引力估计），因此无论传统方法还是ML方法，在真实Itokawa上的反演精度都有限。如果未来有任务再次绕飞Itokawa或类似双瓣小行星，采集连续的引力和轨道数据，那么机器学习模型有望大显身手，解析其内部结构的细节。

101955号小行星Bennu

Bennu是NASA OSIRIS-REx任务的目标小行星，直径约0.5公里，形状接近球状的“陀螺形”（赤道隆起显著）。OSIRIS-REx于2018-2021年对Bennu进行了详尽测绘，提供了高精度的形状模型和重力场数据。在传统分析中，科研团队通过轨道扰动和无线电测定，将Bennu引力场用低阶球谐+质量分层模型进行了拟合，并结合形状模型计算了密度分布。一个重要发现是：Bennu存在中心和赤道密度降低的现象。Science期刊发表的研究指出，Bennu的引力偏差可用“赤道隆起处和核心区域密度更低”来解释，这意味着Bennu内部可能呈“空心”或松散堆积结构。具体而言，其赤道附近和中心部分的密度比全局平均值低，而中层靠近两极的部分密度略高。这与Bennu的形状和自转演化相符：快速自转可能将轻质碎屑向赤道抛移，形成低密度隆起，同时核心由于历史上的碎石堆积也可能不够致密。

Bennu的数据丰富，为机器学习方法的验证提供了绝佳机会。Martin和Schaub团队在最新的PINN-GM-III研究中，以Bennu为例测试了他们改进的PINN模型在异质密度天体上的表现。他们让PINN-GM-III在模拟的“低密度核心、高密度壳体”Bennu模型数据上训练，并与传统方法比较。结果显示PINN-GM-III不仅成功逼近了外部引力场，其内部密度分布也与真实设置吻合良好，且精度超过未做改进的早期PINN模型。这证明了改良PINN模型已具备反演Bennu这样复杂密度分布的能力。另一方面，geodesyNet方法同样在Bennu上进行了验证：Izzo等的工作包含Bennu的真实形状和模拟异质密度测试，训练的神经密度场能准确恢复Bennu内部“核心松散、外层致密”的密度变化趋势。这些结果与OSIRIS-REx团队的科学结论一致。值得一提的是，Bennu引力场的一个特点是重力值极小（表面约$10^{-4},m/s^2$量级），导致测量容易受噪声影响。然而PINN和geodesyNet等方法通过引入物理约束或正则化，在存在测量噪声的条件下仍表现出稳健的学习能力。此外，Bennu表面布满岩石导致重力场局部有高频小扰动，一般球谐展开难以捕捉。但神经网络可以通过增加隐藏层节点，自动学习这些高频成分，从而比低阶球谐模型具有更高的局部精度。

总的来说，Bennu案例充分展示了机器学习方法应用于小天体重力反演的优势：在数据充分的条件下，它能够揭示传统方法可能遗漏的内部结构细节，例如密度不均等。PINN、geodesyNet等在Bennu模拟和数据上的成功，证明它们有潜力成为实际任务数据分析的有力工具。随着OSIRIS-REx采集的海量精密测量公开，我们可以期待更多利用真实Bennu数据训练的ML模型出现，进一步提升对其内部的理解。

162173号小行星Ryugu

Ryugu是日本隼鸟2号任务探测的小行星，直径约0.9公里，形状和大小与Bennu相仿，同为快速自转的“陀螺型”碎石堆天体。隼鸟2号在2018-2019年对Ryugu进行了长期绕飞、两次采样和一次小型撞击试验，获取了详尽的引力和地形数据。Ryugu的平均密度约$1.19,\text{g/cm}^3$，孔隙率高达50%以上。根据日本团队分析，Ryugu的引力-形状数据并未显示出像Bennu那样明显的大尺度密度不均：其质心与形心偏差很小，暗示内部密度分布比较均匀。这可能是因为Ryugu虽然自转快，但内部可能尚未出现大规模的空洞集中。不过，也有研究者提出Ryugu赤道附近可能略低密度，因为表面碎石堆积在赤道形成了高坡度。总的来说，目前Ryugu被认为是整体均质的碎石堆。

在引力场反演方面，由于Ryugu形状规则接近球形，传统低阶球谐模型在其外部表现良好。JAXA的研究人员发布了Ryugu的二阶引力系数$C_{20},C_{22}$，精度很高，并用于评估自转和平衡形状的关系。而多面体模型作为“真值”计算Ryugu引力亦非常精确，因为Ryugu形状模型分辨率高、密度均一假设近似成立。因此，对Ryugu而言，传统方法已足够胜任基本引力场建模任务。机器学习方法在Ryugu上的意义更多在于验证其对真实数据的适应性。由于Ryugu数据丰富且较“简单”，可以作为ML模型的理想训练对象。当前已有工作尝试用PINN从Ryugu探测数据推断其引力场。PoliMi的一项研究报告称，他们使用Ryugu的实测重力值来训练PINN，得到了与多面体模型接近的结果，验证了PINN在噪声存在时仍能收敛。GeodesyNet方法尚未直接用于Ryugu数据，但考虑到Ryugu内部可能接近均匀，geodesyNet训练应能轻松收敛，并给出与均匀密度假设一致的结果。可以预见，如果未来将Ryugu的高分辨引力异常数据用于训练ML模型，或许能放大探测到某些微弱的内部非均质迹象——例如局部巨石聚集导致的微小引力异常。

总而言之，Ryugu案例凸显：当小天体内部相对均匀时，机器学习模型主要用于验证和高效计算，而不是发现新异质结构。Ryugu的研究价值在于提供了一个基准，对比Bennu有无内部异质，说明碎石堆小行星可能在密度分布上存在差异。对于机器学习方法来说，Ryugu是一个很好检验一致性和精度的对象，其结果提高了对这些方法可靠性的信心。

数据获取与处理：从观测到反演的关键环节

高质量的数据是实现精确引力场反演的基础。在小天体探测中，引力场相关的数据获取与处理流程具有自身特点，包括轨道测量数据的获取、形状模型的建立、密度假设的选取以及机器学习模型训练数据的准备等。下文将梳理这些关键环节，并讨论其对反演结果的影响。

轨道与引力测量数据获取

小天体引力场反演所依赖的观测数据，主要来自航天器的轨道和姿态变化测量。典型的数据类型包括：

无线电测距/测速：通过深空网对探测器的载波信号进行精密测时（两向或三向测距）和多普勒测速，可获取航天器相对于地球的距离和径向速度变化。引力场的不均会引起航天器轨道的摄动，从而体现在测距/测速残差中。这是行星引力反演（如月球、火星重力场）的主要数据来源。对于小天体任务，航天器通常在低引力环境下缓慢运动，多普勒信号变化微弱，需要长时间积分或差分才能提取有效信息。因此，小天体引力反演更依赖其它手段补充。
光学导航与跟踪：利用探测器上的摄像机对小天体表面特征点（如标记石、地貌）进行成像，通过特征匹配可以解算探测器相对于小天体的相对位置和姿态。这类光学导航数据结合引力动力学模型，可用于引力参数估计。例如，在Rosetta绕彗星67P期间，因彗星活动导致无线电数据噪声大，科研人员大量依赖光学导航来推断引力参数。光学测量精度受限于图像分辨率和特征提取误差，但优势是提供局部相对运动信息，可与无线电测量形成互补。
加速度计：如果航天器上搭载精密加速度计（如冷原子加速度计），在绕飞过程中可直接测量所受引力加速度。不过目前小天体探测尚无此设备，大多通过轨道导引间接获得加速度。
微卫星/伴飞器测量：有些任务会释放着陆器、漂浮物或编队飞行，通过两个航天器间的相对运动来测引力。例如计划中的Hera任务有两颗小立方星辅助，对Didymos系统的引力场估计将更有帮助。我国郑和号任务也设想了主从星激光测距测速方案，提高小行星引力场解算精度。双星编队能提供更多几何角度和数据冗余，降低单一测站依赖，是未来提高数据质量的方向之一。

数据获取后，需要经过轨道确定和预处理。利用一个初步的引力模型（可假设点质量或简易多面体）进行航天器轨道仿真，将观测数据与模型预报进行比对，滤除噪声并调整模型参数，使轨道预报与观测一致。这一过程中通常应用卡尔曼滤波或批处理最小二乘拟合算法，解算出初步的引力系数或质量参数。对于机器学习模型而言，原始观测数据往往不能直接使用，需要转化为适当的训练标签。例如，从轨道数据推算的航天器加速度（减去已知第三天体摄动）可作为引力加速度训练集；或者利用短弧轨道拟合得到的重力异常值作为监督信号。数据预处理的好坏直接关系到模型训练的成败。如果预处理不足，观测噪声和系统误差将传递给ML模型，使其难以收敛。因此，通常在ML训练前，先用传统方法得到一个较可靠的背景引力场（如低阶模型），然后将残差（观测减背景）提供给神经网络学习，以减小学习难度和突出引力微小特征。

形状模型与密度假设

小天体的形状模型在引力场反演中扮演重要角色。一方面，形状模型可用于质心定位和惯量估计，为低阶引力项（如$C_{20}$扁率项）提供独立信息，有助于提高反演的稳定性。另一方面，形状模型对于多面体和mascon方法来说是必要输入。如果没有形状模型，mascon的空间分布、polyhedral的表面积分都无法定义。此外，形状模型还能辅助机器学习过程。例如，geodesyNet可以选择在损失函数中加入形状约束：要求网络输出的高密度区域与已知形状相符合，从而减少解的歧义。在数据不完备时，形状模型提供了宝贵的先验，有助于机器学习模型减小解空间。然而必须注意，形状模型自身存在误差会传递到引力反演结果中。例如Itokawa形状若各轴有5%的拉伸误差，会带来约$\pm 200,\text{kg/m}^3$的密度估计误差。因此在联合反演中，需同时考虑形状和引力数据的不确定度，或者采用鲁棒方法降低形状误差影响。

密度假设则是反演求解中的另一先验。在传统方法中，常假设均匀密度来闭合方程，否则引力项和质量分布方程会比观测值更多未知数而欠定。即使采用mascon或分区模型，也需要预设每个单元或区域的密度初始值。密度假设的不同会导致完全不同的反演结果。例如，假设Itokawa均匀密度将得不出双瓣差异的结论；假设Bennu密度随半径梯度分布会偏离实际的赤道-中心异常结构。因此，合理的密度先验对传统反演至关重要。通常密度先验来自：①实验室测量的陨石密度类型（如碳质球粒陨石~$2.0,\text{g/cm}^3$）；②总体宏观密度（由体积和总质量算出）作为基准；③结构力学限制（如太低密度可能坍塌）。这些信息可帮助限定反演解的范围。

机器学习方法一方面降低了对密度假设的需求，因为如geodesyNet直接反演$\rho$分布，无需先验给定函数形式。但另一方面，完全无约束的网络可能产生不物理的解，例如局部负密度或过大振荡。因此，一些软约束可以融入ML模型训练：例如要求网络输出的密度为非负（通过激活函数实现），或者总质量与测得$GM$一致（通过一个惩罚项确保积分一致），又或者施加平滑约束避免密度无意义剧烈变化。这些处理相当于给机器学习模型加入“密度假设”的等价形式，只不过是更灵活的数据驱动假设而非先验定值。

模拟数据与训练集构建

由于实际探测数据有限且昂贵，模拟数据的生成与使用在小天体引力反演研究中非常普遍。一方面，模拟数据用于验证新方法（如ML模型）的有效性；另一方面，也可用来做训练集，再将模型迁移应用到实测数据上（领域自适应）。模拟数据通常这样生成：

假设内部质量分布：可以是均匀体、双段密度、径向梯度、局部块状等，根据猜想或需要构造出一个“真实”密度场。例如Izzo等选用了均匀+局部块、双层核幔等多种情形作为ground-truth。段亚博等也尝试了多种密度分布以测试方法泛化性。
正向计算引力：给定真值密度场，用高精度方法计算在所需空间位置处的引力加速度或势。如用高阶多面体或超高次球谐确保计算精度。Izzo等采用了填充高密度mascon的方法来近似连续密度的引力场。确保模拟引力数据的精确性对于后续评估至关重要。
确定采样策略：这是构建训练集的关键一步。可以选择规则网格采样（覆盖天体周围空间的均匀网格点）、轨道路径采样（模拟特定探测轨道上采样）、或随机采样（在一定范围内随机点）。不同采样策略影响训练的偏差和泛化。规则网格有利于覆盖全局，但实际任务数据往往集中在轨道附近。轨道采样虽逼真但覆盖不全面。研究者常综合使用：先网格采样训练模型，再用轨道数据微调，提升模型对特定轨道的精度。Martin等比较了只用轨道点训练与加额外样本训练PINN的效果，发现混合采样可缓解模型在轨道外插值的不稳定。
加入噪声和误差：为贴近真实，应在模拟引力数据中加入噪声，如测量噪声或建模误差。可以叠加高斯噪声，或模拟一些系统偏差（比如质量估计误差）。这样训练出的模型鲁棒性更强。Martin等就对训练数据加了不同水平的噪声来测试PINN模型，进而改进损失函数抵抗噪声的能力。

通过上述流程，得到海量训练样本$(\mathbf{r}_i, \mathbf{a}_i)$或$(\mathbf{r}_i, U_i)$用于监督训练。需要特别关注的是训练/验证划分：为了评估模型是否过拟合，通常预留一部分采样点作为验证集，看模型能否在未见过的位置上准确预测引力。这相当于测试模型的空间泛化能力。如果模型只能记忆训练点，说明还不够实用。Izzo等报告他们训练的geodesyNet在非采样点的精度也保持在1%以内，证明了模型确实学到了引力场的连续规律而非死记硬背。

最后，对于完全依赖实测数据训练的情况，由于数据量有限，也常采用数据增强策略。例如，利用小天体的对称性扩增数据：将已测引力数据绕主轴旋转一些角度（引力场相对于主轴有周期对称），或利用互补轨道数据。如果仍不足，可考虑迁移学习：用模拟数据预训练模型，再用少量实测数据微调。这在机器学习领域是常见做法，在小天体反演中也有潜力应用。

综上，数据获取与处理涉及多个环节，每一步都影响最终反演结果的可靠性。随着探测技术进步，未来的数据质量和数量将不断提高，如更长测站弧、更精密跟踪、多探测器协同等。这不仅将使传统方法受益，也为机器学习模型提供了“大数据”基础，使其充分发挥优势，更准确地重建小天体引力场和内部结构。

未来展望与关键挑战

尽管机器学习在小天体重力场反演中展现出巨大潜力，但要真正应用于实际深空任务并发挥作用，仍有许多问题亟待研究和克服。本节结合当前进展，讨论未来可能的研究方向与关键挑战。

1. 不完备数据情况下的鲁棒建模：现实任务中，探测器获取的数据常常是不完备的。可能只覆盖了小天体的一部分轨道，或者在某些区域测量精度不佳。机器学习模型在训练数据分布缺失的区域容易出现泛化不佳甚至产生物理上不合理的预测（例如局部振荡）。未来需要发展更鲁棒的ML建模技术，包括：

物理正则化：进一步强化物理约束，使模型在外推区域也遵守物理定律。如PINN可以加入更多已知约束（质量守恒、势能边界条件等）减少数据缺口的影响。
先验知识融合：将专家的先验判断融入模型，比如已知某些区域密度较低，则在网络架构或初始权重中体现出来，指导模型学习。当数据不足时，先验可防止模型胡乱拟合。
不确定度量化：发展能够给出预测不确定性的模型，例如贝叶斯神经网络或深度集合（Deep Ensemble），让我们知道在哪些区域模型不可信，从而提示需要更多数据采集。
欠定问题的正则：引力反演本质欠定。即使数据完备，内部质量分布也非唯一解。可以引入最小信息差原则（maximum entropy）或平滑性假设，对等价解进行约束。这些在传统地球重力反演中已有实践，可与ML结合形成混合损失函数，保证模型选取物理上合理的解。

2. 在轨学习与实时更新：未来的小天体任务中，在轨实时更新引力模型将极大提高探测效率和安全性。如果探测器能边飞行边“学习”目标的引力场，那么在临近操作（如编队、着陆）前就拥有精确模型。目前的研究已在这方向展开：Izzo等证明了geodesyNet的训练速度足够快，有望在航天器上实现；赵等的Hopfield网络则直接用于在轨快速参数求解。然而，实现真正的在轨学习还有挑战：

航天器算力与资源限制：深度学习模型训练通常需要强大的算力和存储。而航天器板载计算资源有限。如何优化算法使其在嵌入式系统甚至专用芯片上高效运行是关键。这可能需要研发专用的航天AI芯片或通过模型剪枝、量化来减小网络规模。
数据分批处理：在轨学习意味着数据会连续到来，而不可能像地面一样一次获取全部数据训练完毕。需要增量式的学习算法，例如在线学习或迁移学习框架，使模型能随新数据不断更新而不遗忘旧知识。这涉及避免常见的灾难性遗忘问题，以及确保模型更新时的稳定性。
自主决策：如果模型在轨生成了引力场结果，需要自动评估可信度并用于导航决策。这要求一套验证与容错机制。可能的方案包括在航天器上运行两个不同模型交叉核验，或者将ML模型与传统滤波器并行运行互相校准。当两者结果偏差超限时发出警报，避免将错误模型用于控制。
通信与地面支持：在轨学习并不意味着完全孤立。地面仍可通过定期遥测获取模型中间结果并修正参数，再上载给航天器。因此，研究人机协同的学习模式也是未来方向，即地面强算力与在轨边缘智能协同更新模型，以达到最佳效果。

3. 引力反演与内部结构联合反演：引力场只是揭示小天体内部的一个窗口。未来的研究将朝着多源信息融合、联合反演内部结构的方向发展。例如，将引力场反演与自转运动（如岁差、章动）观测结合，可推断小天体的惯性主轴和密度分层信息；将引力数据与地震波（如果着陆器激发震动）数据结合，可极大约束内部物质分布和刚性。虽然目前在小天体上还没有成功的地震实验，但月球等已有范例。小天体内部结构联合反演的一个实例是在地球物理领域：Berkel和Michel (2010)提出将重力异常与振动模式联合求解地球的密度分布。类似思想可用于小行星——如果未来某任务在人造撞击后测得自由振荡频率，配合引力场可以联合反演内部质量和刚度分布。又如对双小行星系统，通过卫星轨道变化（引力）和主星自转变化（牛顿第二定律）一起求解，可互补破除引力反演的非唯一性。这些都是“联合反演”的范畴。机器学习可以在联合反演中发挥独特作用：它可以设计多输入多输出网络，同时读入多模态数据（引力、形变、振荡频率等），输出统一的内部结构参数。通过端到端训练，模型将自动协调各类信息的权重，给出与所有观测一致的内部结构估计。这有望比传统人工逐步调整模型来得更智能和高效。当然，实现这一目标需克服不同物理量量纲差异、数据稀少等困难，但一旦成功，将大大丰富我们对小天体内部的了解。

4. 更复杂的神经网络与算法：在方法层面，未来可探索更复杂和适配性更强的网络结构。例如图神经网络（GNN）可用于表示小天体上稀疏分布的质量网格，每个节点代表一个质量元素，图网络学习它们的“邻接”相互作用，这样天然符合牛顿引力的长程关联性质。再如元学习（Meta-learning），让模型学会如何快速适应不同小天体的引力场，只需少量新数据就能调优参数。这对于一次任务访问多目标或事先不确定目标参数的情况很有意义。此外，进化算法与深度学习结合（例如用遗传算法优化网络超参数和拓扑）也值得尝试，以自动寻找最适合特定小天体反演问题的网络配置。最后，可解释性也是未来挑战之一。当前的深度模型很难直接解释某一隐藏单元对应天体哪个部分的密度变化。引入物理符号或图谱与网络链接的物理-神经混合模型，或许能赋予模型一定可解释能力，使科学家不仅得到结果，还能理解原因。

5. 实际任务验证与标准建立：再优秀的方法也需要通过实际任务数据来检验。在未来几年，随着Hera、郑和号等任务的展开，将产生宝贵的新数据，为机器学习方法提供用武之地。需要制定标准化的评估流程，比如在这些任务中平行运行传统滤波反演和机器学习反演，比较结果异同和优劣。这将帮助社区建立对新方法的信心。也需要积累经验形成标准：如机器学习反演的结果如何融入SPICE导航框架，如何在探测任务计划阶段考虑机器学习数据需求等等。这些标准的建立，将加速机器学习方法从研究走向工程应用。

结论

小天体重力场反演研究正处于从传统方法向智能方法过渡的阶段。传统球谐、mascon、多面体模型为小天体引力场刻画打下了基础，但在处理高度不规则形状和内部异质方面力有未逮。机器学习，尤其是深度学习技术的引入，为这一领域带来了新机遇。通过融合理论物理和数据驱动的方法（如PINNs将引力物理融入网络训练、geodesyNet直接学习密度函数），科学家已经证明机器学习模型能够以较少先验假设获得高精度的引力场反演结果。在Eros、Itokawa、Bennu等典型天体的模拟和实测研究中，机器学习方法不仅复现了传统方法成果（如质心位置、总体密度），更进一步揭示出内部结构的线索（如Bennu的空洞、Itokawa的双密度）。同时，机器学习模型展现出良好的计算效率和拓展性：DNN能够加速引力计算用于实时控制；Hopfield网络实现了参数的快速在轨估计；这些都为深空任务的自主导航提供了可能性。

然而，我们也必须清醒地认识到挑战的存在。机器学习模型的可靠性高度依赖数据，对不完整或偏差数据仍较敏感，需要通过物理约束和先验融合来增强鲁棒性。将这些模型真正用于航天器自主，需要解决在轨算力和算法稳定性问题，并建立配套的验证体系。幸运的是，相关研究正积极推进，第三代PINN显著改进了模型稳定性，geodesyNet开源代码降低了应用门槛。可以预见，在未来5-10年内，随着小行星探测任务的深入和数据的积累，机器学习方法将从实验室走向任务现场，成为继卡尔曼滤波之后引力场确定的新一代主力工具。

展望未来，小天体重力反演将朝着智能化、联合化、实时化方向发展。智能化是指借助AI算法，使我们能从复杂引力数据中挖掘更多信息；联合化是多种观测融合，全面刻画内部结构；实时化则是在任务执行过程中动态更新模型。所有这些进步，最终服务于我们对太阳系小天体的终极关切：它们从何而来，内部是什么样，在未来如何威胁或造福人类。机器学习并非万能，但在小天体引力场反演这一路径上，为我们打开了一扇新的窗，让我们得以窥见以往难以观测的内部奥秘。随着技术和理念的不断革新，我们有理由相信，对小天体的引力场与内部结构的理解将迈上新的台阶，为行星科学和深空探测带来更多惊喜和发现。

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引言